Question

對于橢圓

x2

9

+

y2

8

=1，有下列命題：
①橢圓的離心率是

1

9

；
②橢圓的長軸長為6，短軸長為4，焦距為2；
③橢圓上的點P到點（1，0）的距離與到直線x=9的距離比為

1

3

；
④直線mx-y-2m+1=0與橢圓一定有兩個交點；
⑤橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的面積的最大值為2．
其中正確的命題有

 

（填所有正確命題的序號）．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用橢圓的幾何性質，求相應的數值即可判斷，橢圓的離心率，橢圓的長軸長為6，短軸長為

2

4，焦距為2；整體表示即可求解：橢圓上的點P到點（1，0）的距離與到直線x=9的距離比；運用直線mx-y-2m+1=0，恒過定的（2，1），可判斷位置關系；

1

2

×2c×b=bc，即可求解判斷．

解答： 解：∵橢圓

x2

9

+

y2

8

=1，
∴橢圓的離心率是

1

3

，
橢圓的長軸長為6，短軸長為

2

4，焦距為2，
橢圓上的點P到點（1，0）的距離與到直線x=9的距離比為

(x0-1)2+ y 2 0

|x0-9|

=

(x0-1)2+8(1- x 2 0 9 )

|x0-9|

=

1

3

×

|x0-9|

|x0-9|

=

1

3

；

∵直線mx-y-2m+1=0，恒過定的（2，1），

4

9

+

1

8

＜1，
∴點（2，1）在橢圓內，
∴直線mx-y-2m+1=0與橢圓一定有兩個交點，
橢圓上的點與兩個焦點構成的三角形的面積的最大值為：

1

2

×2×1=1，
∴①②⑤錯誤，③④正確
故答案為：③④

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，特殊點特殊直線，屬于中檔題．