Question

【題目】在四棱錐中，.

（1）設與相交于點，，且平面，求實數的值；

（2）若，且，求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由題意結合幾何關系可得．結合線面平行的性質定理可得 ．

（2）由幾何關系可得平面，故以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，據此可得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為 ．據此可得，則二面角 的正弦值為.

詳解：（1）因為,所以．

因為，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因為,可知為等邊三角形，

所以，又，

故，所有．

由已知，所以平面，

如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，

設，則，

所以，則，

設平面的一個法向量為，則有

即

設，則，所以，　

設平面的一個法向量為，由已知可得

即　

令，則，所以 ．　

所以，

設二面角的平面角為，則．