Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）求直線(xiàn)BP與平面ABCD所成角的大小；
（2）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG、BD．正△PAD中利用“三線(xiàn)合一”，證出PG⊥AD，結(jié)合平面PAD⊥平面ABCD，得到PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直線(xiàn)BP與平面ABCD所成角．再根據(jù)△ABD是與△PAD全等的正三角形，證出Rt△PBG中，是等腰直角三角形，可得∠PBG=45°，即得直線(xiàn)BP與平面ABCD所成角的大小；
（2）取PC 的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，利用線(xiàn)面平行的判定定理證出EF∥平面PGB且DE∥平面PGB，結(jié)合EF∩DE=E，得平面DEF∥平面PGB．由（1）的結(jié)論P(yáng)G⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直判定定理得到平面PGB⊥平面ABCD，從而得到平面DEF⊥平面ABCD，說(shuō)明存在PC的中點(diǎn)F，使得平面DEF⊥平面ABCD．

解答：（1）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG、BD
∵正△PAD中，PG為中線(xiàn)，∴PG⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直線(xiàn)BP與平面ABCD所成角
∵在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是與△PAD全等的正三角形
∴Rt△PBG中，PG=BG=

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AD，可得∠PBG=45°
即直線(xiàn)BP與平面ABCD所成角的大小為45°；
（2）當(dāng)F為PC邊的中點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足平面DEF⊥平面ABCD，證明如下：
取PC 的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，
∵在△PBC中，EF∥PB，EF?平面PGB，PB?平面PGB，
∴EF∥平面PGB
在菱形ABCD中，BG∥DE，同理可得DE∥平面PGB
∵EF∩DE=E，∴平面DEF∥平面PGB，
∵PG⊥平面PGB，且PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，可得平面DEF⊥平面ABCD
因此存在PC的中點(diǎn)F，使得平面DEF⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中求直線(xiàn)與平面所成角的大小，并探索面面垂直的存在性，著重考查了面面平行、面面垂直的位置關(guān)系判定和線(xiàn)面所成角大小求法等知識(shí)，屬于中檔題．