Question

已知O為平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足條件

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，λ∈(0，+∞)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．內(nèi)心

Answer 1

分析：確定

BC

與λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)垂直，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，可得

OP

=

OD

+

DP

，從而可得結(jié)論．

解答：解：∵

BC

•(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)=-|

BC

|+|

BC

|=0
∴

BC

與λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)垂直，
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則

OD

=

OB + OC

2

令

DP

=λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)
∵點(diǎn)P滿足條件

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，λ∈(0，+∞)，
∴

OP

=

OD

+

DP

∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即P經(jīng)過△ABC的外心
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間向量的加減法，以及三角形的外心的知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題