Question

已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=，光線從點P(0,-3)出發經過右焦點F₂，到直線：x+y-2=0后被它反射，反射光線經過左焦點F₁.

（1）求橢圓C的方程；

（2）經過P的直線l與橢圓C相交于A，B，D（0,m）為y軸上一點，若=0，求m的取值范圍.

Answer 1

解：（1）設橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),點F₂,P關于直線：x+y-2=0的對稱點E，P′的坐標分別為(2,2-c),(5,2)，則點P′,E,F₁三點共線，

∴，c²+5c-6=0，(c＞0)

∴c=1,又橢圓的離心率e=，

∴a=2,b=1，橢圓C的方程為+y²=1.

（2）因為=0，所以，D是線段AB的中垂線與y軸的交點，設：A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),AB的中點M(x₀,y₀)，直線l的斜率為k，則有

消去y得(1+2k²)x²-12kx+16=0，

∴∴x₀=,y₀=kx₀-3=.

線段AB的中垂線方程為y+=-(x-)，

∴m=.

∵Δ=144k²-64(1+2k²)=16k²-64＞0,

∴1+2k²＞90＜m＜

又當l⊥x軸時，m=0,∴0≤m＜