Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax²+1，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=bx+2．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x＞0時，求證：f（x）≥（e-2）x+2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）令ϕ（x）=f（x）-（e-2）x-2=e^x-x²-（e-2）x-1，則ϕ′（x）=e^x-2x-（e-2），令t（x）=ϕ′（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a+1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為：
y-e+a-1=（e-2a）x-e+2a，
即：y=（e-2a）x+a+1，
由題意：e-2a=b，a+1=2，
∴a=1，b=e-2…（6分）
（2）證明：令ϕ（x）=f（x）-（e-2）x-2=e^x-x²-（e-2）x-1，
則ϕ′（x）=e^x-2x-（e-2），令t（x）=ϕ′（x），
則t′（x）=e^x-2，
令t′（x）＜0得：0＜x＜ln2   令t′（x）＞0得：x＞ln2，
∴t（x）=ϕ′（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增
∵t（0）=ϕ′（0）=3-e＞0，t（1）=ϕ′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴t（ln2）=ϕ′（ln2）＜0，
∴存在x₀∈（0，1）使t（x₀）=ϕ′（x₀）=0，
且當(dāng)x∈（0，x₀）或x∈（1，+∞）時，t（x）=ϕ′（x）＞0，
當(dāng)x∈（x₀，1）時，t（x）=ϕ′（x）＜0，
∴ϕ（x）在（0，x₀）上遞增，在（x₀，1）上遞減，在上遞增（1，+∞），
又ϕ（0）=ϕ（1）=0，所以有：ϕ（x）≥0，
即f（x）-（e-2）x-2≥0，
∴f（x）≥（e-2）x+2…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．