Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+1．
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式和前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意只要證明

bn

bn-1

為一常數即可，已知S_n+1=4a_n+1，推出b₁的值，然后繼續遞推相減，得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），從而求出b_n與b_n-1的關系；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）{b_n}是等比數列，可得b_n}的通項公式，從而證得數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
最后利用錯位相減法，求出數列{a_n}的通項公式和前n項和．

解答：解：（Ⅰ）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+1，得
a₁+a₂=4a₁+1，a₂=3a₁+1=4，
∴b₁=a₂-2a₁=2，
由S_n+1=4a_n+1…①
則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+1…②
②-①得a_n+1=4a_n-4a_n-1，∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）
又∵b_n=a_n+1-2a_n∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首項b₁=2，公比等于2的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=2ⁿ，∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，∴數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
∴

an

2n

=

1

2

+（n-1）

1

2

=

n

2

，a_n=n•2^n-1，
設S_n=1+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
∴2S_n=2^1₊2•2²+3•2³+…（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴兩式相減得，-S_n=1（ 2^1₊2²+2³+…2 ^n-1）-n•2ⁿ
=1+

2•(1-2n-1)

1-2

-n•2n=-1+(1-n)•2n
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：此題主要考查了等比數列的性質及其前n項和，運用了錯位相減法求數列{a_n}的前n項和，這個方法是高考中常用的方法，同學們要熟練掌握它．