Question

橢圓

x2

2

+

y

2

=1上的點到直線2x-y=7距離最近的點的坐標為（　　）

• A．（-

  4

  3

  ，

  1

  3

  ）
• B．（

  4

  3

  ，-

  1

  3

  ）
• C．（-

  4

  3

  ，

  17

  3

  ）
• D．（

  4

  3

  ，-

  17

  3

  ）

Answer 1

分析：設與直線2x-y=7平行且與橢圓

x2

2

+

y

2

=1相切的直線l的方程為：2x-y=t，與橢圓的方程聯立化為關于x的一元二次方程，令△=0，進而解出點的坐標．

解答：解：設與直線2x-y=7平行且與橢圓

x2

2

+

y

2

=1相切的直線l的方程為：2x-y=t，
聯立

2x-y=t x2 2 +y2=1

，化為9x²-8tx+2t²-2=0．（*）
∴△=64t²-36（2t²-2）=0，化為t²=9，解得t=±3．
取t=3，代入（*）可得：9x²-24x+16=0，解得x=

4

3

，∴y=2×

4

3

-3=-

1

3

．
∴橢圓

x2

2

+

y

2

=1上的點到直線2x-y=7距離最近的點的坐標為(

4

3

，-

1

3

)．
故選B．

點評：本題考查了直線與橢圓相切問題轉化為方程聯立得到△=0、相互平行的直線之間的斜率公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．