Question

已知函數f（x）=

sinπx  (0≤x≤1) log2014x (x＞1)

，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是（　　）

• A、（1，2014）
• B、（1，2015）
• C、（2，2015）
• D、[2，2015]

Answer 1

分析：根據題意，在坐標系里作出函數f（x）的圖象，根據f（a）=f（b）=f（c），確定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范圍．

解答：解：作出函數的圖象如圖，

直線y=m交函數圖象于如圖，
不妨設a＜b＜c，
由正弦曲線的對稱性，可得（a，m）與（b，m）關于直線x=

1

2

對稱，
因此a+b=1，
當直線y=m=1時，由log₂₀₁₄x=1，
解得x=2014，即x=2014，
∴若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
由a＜b＜c可得1＜c＜2014，
因此可得2＜a+b+c＜2015，
即a+b+c∈（2，2015）．
故選：C．

點評：本題以三角函數和對數函數為例，考查了函數的零點與方程根個數討論等知識點，利用數形結合，觀察圖象的變化，從而得出變量的取值范圍是解決本題的關鍵．