Question

已知數列{a_n}是等差數列,公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*),a_kx²+2a_k+1x+a_k+2=0(k∈N^*),

(1)求證:當k取不同正整數時,方程都有實數根;

(2)若方程不同的根依次為x₁,x₂,x₃,…x_n,…,求證:,,,…,,…是等差數列.

Answer 1

證明：(1)∵{a_n}是等差數列，公差d≠0,a_n≠0(n∈N^*),

∴2a_k+1=a_k+a_k+2.

代入已知方程得a_kx²+(a_k+a_k+2)x+a_k+2=0,

即(x+1)(a_kx+a_k+2)=0.

方程有解x=-1,故不論k取何正整數時，方程都有公共根-1.

(2)當k取不同正整數時，x_k=-,

∴x_k+1=-+1=-=.

故=-.

則-=(-)-(-)=-=-.

∴數列{}是等差數列.