Question

已知橢圓的離心率為，F₁，F₂分別為橢圓C的左右焦點，且F₂到橢圓C的右準線l的距離為1，點P為l上的動點，直線PF₂交橢圓C于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AB的面積S的取值范圍；
（Ⅲ）設，，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據離心率求得a和c的關系，進而根據F₂到橢圓C的右準線l的距離為1和a²=b²+c²求得a和b，橢圓的方程可得．
（2）可設動點P的坐標為（2，m），求得焦點坐標，進而可得直線PF₂的方程與橢圓方程聯立消去y，設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），根據偉大定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出|AB|和點F₁到直線PF₂的距離，進而可得△F₁AB的面積S的表達式，根據m確定S的取值范圍．
（3）根據，，可求得λ和μ的表達式，進而把x₁+x₂和x₁x₂代入λ+μ中求得λ+μ=0，原式得證．
解答：解：
（Ⅰ）由題意得，
解得，b=1，c=1，
所以橢圓C的方程為．
（Ⅱ）因為右準線l的方程為，
所以可設動點P的坐標為（2，m），由（Ⅰ）知焦點F₁，F₂的坐標分別（-1，0），（1，0），
所以直線PF₂的方程為y=m（x-1）．
設A，B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由得（1+2m²）x²-4m²x+2m²-2=0，
于是，．
所以．
點F₁到直線PF₂的距離，
所以△F₁AB的面積，，
由題知m∈R且m≠0，于是，
故△F₁AB的面積S的取值范圍是．

（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（2-x₁，m-y₁）=μ（x₂-2，y₂-m），
于是，，
所以．
因為，
所以λ+μ=0，即λ+μ為定值0．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程．當涉及直線與圓錐曲線的關系時，常需要把直線方程和圓錐曲線方程聯立，根據偉大定理找到解決問題的途徑．