Question

已知函數f(x)=

4x+1

2x

和函數g（x）=2^x-2^-x
（1）判斷h(x)=

f(x)

g(x)

的奇偶性，并判斷和證明y=lgh（x）在定義域上的單調性；
（2）若函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意h（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+ 1 2x

2x- 1 2x

=

4x+1

4x-1

，代入檢驗h（-x）與h（x）的關系即可判斷函數的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
設0＜x₁＜x₂，則通過判斷h（x₁）-h（x₂）=1+

2

4x1-1

-1-

2

4x2-1

的正負可先判斷h（x）在（0，+∞）上的單調性，然后根據復合函數的單調性即可
（2）由函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數可得h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，整理可得λ＞1-

2

t+1

∈(-1，1)恒成立（t=

1

2x1+x2

），從而可求λ的范圍

解答：解：（1）f（x）=

4x+1

2x

=2x+

1

2x

，g(x)=2x-

1

2x

∵h（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+ 1 2x

2x- 1 2x

=

4x+1

4x-1

∴h(-x)=

4-x+1

4-x-1

=

1+4x

1-4x

=-h（x）
∴函數h（x）為奇函數  
h(x)=

4x+1

4x-1

=1+

2

4x-1

由h（x）＞0可得x＞0
設0＜x₁＜x₂，則h（x₁）-h（x₂）=1+

2

4x1-1

-1-

2

4x2-1

=

2(4x2-4x1)

(4x2-1)(4x1-1)

∵0＜x₁＜x₂，則4x2-4x1＞0，4x2-1＞0，4x1-1＞0
∴h（x₁）＞h（x₂），lgh（x₁）＞lgh（x₂）
∴y₁＞y₂
函數y=lgh（x）在（0，+∞）上遞減…（6分）
（2）∵函數h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函數
∴h(x1)-h(x2)=(2x1-2x2)(λ+1+

λ-1

2x1+x2

)＜0，λ+1+

λ-1

2x1+x2

＞0，令t=

1

2x1+x2

＞0
∴λ＞1-

2

t+1

∈(-1，1)恒成立
∴λ≥1…（8分）

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷及理由定義證明、判斷函數的單調性，及函數單調性的定義的應用，屬于函數知識的綜合應用，具有一定的綜合性．