Question

一種商品，進貨價每件40元，若銷售價定為每件50元，則平均日銷售量為30件．據市場調查：如果該商品每提高或降低1元，銷售量相應地減少或增加2件．當商品銷售價定為每件（50+x）元時，要求既要賺錢又要賣得出去，該商品每天利潤設為y元，規定x為整數．
（1）寫出函數y=f（x）的解析式，指出其定義域；
（2）當銷售價定為多少元時，日利潤最大，并求出最大利潤．

Answer 1

解：（1）商品銷售價定為每件（50+x）元，由題意，得
y=f（x）=（50+x-40）（30-2x）
=（x+10）（30-2x）
=-2x²+10x+300
由于既要賺錢又要賣得出去，故x+10＞0，且30-2x＞0
即-10＜x＜15
又∵x為整數
故函數的定義域為{x∈Z|-10＜x＜15}
（2）由（1）中f（x）=-2x²+10x+300（-10＜x＜15，x∈Z）
∵函數y=-2x²+10x+300，當x=時有最大值
∴當x=2或x=3時，利用有最大值312
答：售價為52元或53元時，此時利潤最大，最大為312元．
分析：（1）設商品的定價為x元，由這種商品的售價每上漲1元，其銷售量就減少2件，列出等式求得x的值即可；
（2）設利潤為y元，列出二次函數關系式，在售價不超過40元/件的范圍內求得利潤的最大值．
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，關鍵是對題意的正確理解．