Question

設數列{a_n}滿足a₁=t，a₂=t²，前n項和為S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N*）。
（1）證明數列{a_n}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）當＜t＜2時，比較2ⁿ+2^-n與tⁿ+t^-n的大小；
（3）若＜t＜2，bn=，求證：。

Answer 1

解：（1）證明：由S_n-2-（t+1）S_n+1+tS_n=0，
得tS_n+1-tS_n=S_n+2-S_n+1，即a_n+2=ta_n+1，而a₁=t，a₂=t²，
∴數列{a_n}是以t為首項，t為公比的等比數列，
∴a_n=tⁿ；
（2）∵（tⁿ+t-ⁿ）-（2ⁿ+2-ⁿ）=（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]，又＜t＜2，
∴＜1，則tⁿ-2ⁿ＜0且1-（）ⁿ>0，
∴（tⁿ-2ⁿ）[1-（）ⁿ]＜0，
∴tⁿ+t-ⁿ＜2ⁿ+2-ⁿ；
（3）證明：∵，
∴2
，
∴。