Question

如圖所示，過點(diǎn)M（-6，0）作圓C：x²+y²-6x-4y+9=0的割線，交圓C于A、B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡；
（2）在線段AB上取一點(diǎn)Q，使

1

MA

+

1

MB

=

2

MQ

，求點(diǎn)Q的軌跡．

Answer 1

分析：（1）設(shè)中點(diǎn)P的坐標(biāo)，建立關(guān)于點(diǎn)P的方程，從而確定軌跡方程．
（2）利用代入法求點(diǎn)點(diǎn)Q的軌跡．

解答：解：（1）圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=4，其圓心為C（3，2），半徑為2．
又M∈{M|PC⊥MP，P在已知圓內(nèi)}，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），則CP的斜率為

y-2

x-3

(x≠3)，MP的斜率為

y

x+6

(x≠-6)，
所以

y-2

x-3

•

y

x+6

=-1，化簡得x²+y²+3x-2y-18=0．
點(diǎn)C（3，2）應(yīng)在軌跡上，而x=3時(shí)，y=2滿足方程x²+y²+3x-2y-18=0，
所以點(diǎn)P的軌跡是圓x²+y²+3x-2y-18=0在已知圓內(nèi)的一段弧．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），直線AB的斜率為k，則有MA=

1+k2

(x1+6)， MB=

1+k2

(x2+6)，MQ=

1+k2

(x+6)，
代入

1

MA

+

1

MB

=

2

MQ

，有

1

x1+6

+

1

x2+6

=

2

x+6

，
即

2

x+6

=

x1+x2+12

x1x2+6(x1+x2)+36

，①
把y=k（x+6）代入x²+y²-6x-4y+9=0，得（k²+1）x²+2（6k²-2k-3）x+3（12k²-8k+3）=0，x1+x2=-

2(6k2-2k-3)

k2+1

，x1•x2=

3(12k2-8k+3)

k2+1

，②
②代入①并化簡得

2

x+6

=

4k+18

81

⇒2k(x+6)+9x-27=0，而k=

y

x+6

，從而有9x+2y-27=0，所以點(diǎn)Q的軌跡是直線9x+2y-27=0的圓內(nèi)部分．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．