Question

設各項均為正數的數列{a_n}和{b_n}滿足5an，5bn，5an+1成等比數列，lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差數列，且a₁=1，b₁=2，a₂=3，求通項a_n、b_n．

Answer 1

∵5^a_n，5^b_n，5^a_n+1成等比數列，
∴（5^a_n）²=5^b_n•5^a_n+1，即2b_n=a_n+a_n+1．①
又∵lgb_n，lga_n+1，lgb_n+1成等差數列，
∴2lga_n+1=lgb_n+lgb_n+1，即a_n+1²=b_n•b_n+1．②
由②及a_i＞0，b_j＞0（i、j∈N^*）可得
a_n+1=

bn•bn+1

．③
∴a_n=

bn-1bn

（n≥2）．④
將③④代入①可得2b_n=

bn-1•bn

+

bn•bn+1

（n≥2），
∴2

bn

=

bn-1

+

bn+1

（n≥2）．
∴數列{

bn

}為等差數列．
∵b₁=2，a₂=3，a₂²=b₁•b₂，∴b₂=

9

2

．
∴

bn

=

2

+（n-1）（

9 2

-

2

）
=

1

2

（n+1）（n=1也成立）．
∴b_n=

(n+1)2

2

．
∴a_n=

bn-1•bn

=

n2 2 • (n+1)2 2

=

n(n+1)

2

（n≥2）．
又當n=1時，a₁=1也成立．
∴a_n=

n(n+1)

2

．