Question

已知半橢圓和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓內切于矩形ABCD，且CD交y軸于點G，點P是半圓x²+y²=b²（y≤0）上異于A，B的任意一點，當點P位于點時，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點E、F，求證：AE²+BF²為定值．

Answer 1

解：（1）已知點
在半圓x²+y²=b²（y≤0）上，
所以，又b＞0，
所以b=1，當半圓x²+y²=b²（y≤0）
在點P處的切線與直線AG平行時，
點P到直線AG的距離最大，
此時△AGP的面積取得最大值，
故半圓x²+y²=b²（y≤0）
在點M處的切線與直線AG平行，
所以OM⊥AG，又，
所以，又b=1，所以，（4分）
所以曲線C的方程為或x²+y²=1（y≤0）．
（2）點，點，
設P（x₀，y₀），則有直線PC的方程為，
令y=0，得x=1-，
所以；
直線PD的方程為，
令y=0，得，
所以；
則
=，
又由x₀²+y₀²=1，得x₀²=1-y₀²，
代入上式得AE²+BF²=
=
=，所以AE²+BF²為定值．
分析：（1）由題設條件知，所以b=1，由此可知半圓x²+y²=b²（y≤0）在點M處的切線與直線AG平行，所以OM⊥AG，，所以，所以曲線C的方程為或x²+y²=1（y≤0）．
（2）設P（x₀，y₀），則有直線PC的方程為，令y=0，得B₁，所以；直線PD的方程為，令y=0，得，．由此入手能夠推導出AE²+BF²為定值．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．