Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，．
（1）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求直線PA與平面 BEP所成的角．

Answer 1

解：（1）證明：如圖所示，連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形．
∵E是CD的中點，
∴BE⊥CD，又AB∥CD，
∴BE⊥AB，
又∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE，而PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（2）過A點作AF垂直PB，垂足為F，
∵平面PBE⊥平面PAB
∴AF⊥平面PBE
∴∠APB即為直線PA與平面 BEP所成的角
在Rt△APB中，∵AB=1，．
∴∠APB=30°
∴直線PA與平面 BEP所成的角為30°
分析：（1）連接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等邊三角形，結合等腰三角形“三線合一”的性質，易得BE⊥CD，即BE⊥AB，再由線面垂直的性質結合PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BE，由線面垂直的判定定理，可得BE⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理得到平面PBE⊥平面PAB；
（2）過A點作AF垂直PB，垂足為F，由（1）的結論，易得F為A點在平面PBE上的正投影，則∠APB即為直線PA與平面 BEP所成的角．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中熟練掌握空間線、面垂直及平行的判定、性質、定義，建立良好的空間想像能力是解答本題的關鍵．