Question

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{a_n} 滿足a₁=a，an+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a、c為實(shí)數(shù)，且c≠0．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)a=

1

2

，c=

1

2

，b_n=n（a-a_n）（n∈N^*），求數(shù)列 {b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）設(shè)a=

3

4

，c=-

1

4

，cn=

3+an

2-an

（n∈N^*），記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對任意正整數(shù)n都有T_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）把給出的遞推式移向后討論a，當(dāng)a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式后驗(yàn)證a=1時成立；
（2）把數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式代入b_n=n（a-a_n），然后利用錯位相減法求數(shù)列 {b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）把數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式代入cn=

3+an

2-an

化簡，然后由dn=c2n-c2n-1(n∈N*)放縮得到dn＜

25

16n

，最后通過求和證明T_n＜

3

2

．

解答：（1）解：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴當(dāng)a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1，公比為c的等比數(shù)列，
∴an-1=(a-1)cn-1，即an=(a-1)cn-1+1．
當(dāng)a=1時，a_n=1仍滿足上式．
∴數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式為an=(a-1)cn-1+1；
（2）解：由（1）得，當(dāng)a=

1

2

，c=

1

2

時，
b_n=n（1-a_n）=n{1-[1-

1

2n

]}=n•

1

2n

 
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

1

2

Sn=

1

22

+2×

1

23

+…+n×

1

2n+1

兩式作差得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n×

1

2n+1

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-n×

1

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

=2-

n+2

2n

；  
（3）證明：cn=

3+an

2-an

=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

d_n=c_2n-c_2n-1=

5

42n-1

+

5

42n-1+1

=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

又c1=3，c2=

13

3

，∴d2=

4

3

，
當(dāng)n=1時，T1＜

3

2

，
當(dāng)n≥2時，
Tn＜

4

3

+25×(

1

162

+

1

163

+…+

1

16n

)=

4

3

+25×

1 162 [1- 1 16n-2 ]

1- 1 16

＜

4

3

+25×

1 162

1- 1 16

=

69

48

＜

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了放縮法求證不等式，是難題．