Question

已知數列{a_n}滿足：，，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），數列{b_n}滿足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N*），數列{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求證：數列{a_n}為等差數列；
（Ⅱ）求證：數列{b_n-a_n}為等比數列；
（Ⅲ）若當且僅當n=4時，S_n取得最小值，求b₁的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1（n≥2），
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．
∴數列{a_n}為等差數列．
（Ⅱ）證明：∵{a_n}為等差數列，
∴公差，
∴．
∵3b_n-b_n-1=n（n≥2）．
∴，
∴
又b₁-a₁≠0，
∴對．
數列{b_n-a_n}是公比為的等比數列．
（Ⅲ）由（II）得b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，
∴b_n=，
∵b₁＜0，可知數列{b_n}為遞增數列…10分
由當且僅當n=4時，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，
∴b₄＜0，b₅＞0，
又當b₄＜0，b₅＞0時，
∵數列{b_n}為遞增數列，
∴S_n取得最小值時，n=4，
即當且僅當n=4時，S_n取得最小值的充要條件是b₄＜0，b₅＞0…12分
由b₄＜0得，•（）³＜0，解得b₁＜-47，
由b₅＞0得，•（）⁴＞0，解得b₁＞-182，
∴b₁的取值范圍為（-182，-47）．…14分
分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N*），得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁．所以數列{a_n}為等差數列．
（Ⅱ）由{a_n}為等差數列，公差，知．由3b_n-b_n-1=n（n≥2）．知，由此能夠證明數列{b_n-a_n}是等比數列．
（Ⅲ）由b_n-a_n=（b₁-a₁）（ ）^n-1，知b_n=，由b₁＜0，可知數列{b_n}為遞增數列．由當且僅當n=4時，S_n取得最小值可得S₃＞S₄，S₄＜S₅ ，所以b₄＜0，b₅＞0．由此能求出b₁的取值范圍．
點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．