Question

下列幾個命題
①方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，則a＜0．
②函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)．
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域為[-3，1]．
④設函數(shù)y=f（x）定義域為R，則函數(shù)y=f（1-x）與y=f（x-1）的圖象關(guān)于y軸對稱．
⑤一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的公共點個數(shù)是m，則m的值不可能是1．
其中正確的有

①⑤

．

Answer 1

分析：①由方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷出；
②要使函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

有意義，則

x2-1≥0 1-x2≥0

，解得x即可判斷出；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）只是把函數(shù)y=f（x）的圖象項左平移了一個單位，因此值域沒改變；
④舉反例：若y=x（x∈R）．則f（x-1）=x-1與f（1-x）=1-x關(guān)于y軸不對稱；
⑤一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的有公共點，則|3-x²|=a≥0，可得x²-3=±a，即x²=3±a＞0，x=±

3±a

，即可判斷出公共點的個數(shù)m．

解答：解：①∵方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，則

a

1

＜0，即a＜0，因此正確；
②要使函數(shù)y=

x2-1

+

1-x2

有意義，則

x2-1≥0 1-x2≥0

，解得x=±1，因此y=0（x=±1），故函數(shù)既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，故不正確；
③函數(shù)f（x）的值域是[-2，2]，則函數(shù)f（x+1）的值域仍然為[-2，2]，故不正確；
④舉例：若y=x（x∈R）．則f（x-1）=x-1與f（1-x）=1-x關(guān)于y軸不對稱，因此不正確；
⑤一條曲線y=|3-x²|和直線y=a（a∈R）的有公共點，則|3-x²|=a≥0，∴x²-3=±a，即x²=3±a＞0，∴x=±

3±a

，
因此公共點的個數(shù)m可以是2，4，故m的值不可能是1．
綜上可知：其中正確的有 ①⑤．

點評：熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．