Question

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-

π

4

)=

2

10

．
（Ⅰ）求sinA的值；  
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的第二個等式左邊利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，得到sinA-cosA=

1

5

①，然后左右兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系及二倍角的正弦函數公式化簡，求出sin2A的值，再利用完全平方公式及同角三角函數間的基本關系化簡（sinA+cosA）²，將sin2A的值代入，開方求出sinA+cosA=

7

5

②，聯立①②即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可得出三角形面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由sin(A-

π

4

)=sinAcos

π

4

-cosAsin

π

4

=

2

10

，
即

2

2

（sinA-cosA）=

2

10

，
∴sinA-cosA=

1

5

，
∴(sinA-cosA)2=1-sin2A=

1

25

，
∴sin2A=

24

25

，且角A為銳角，
又(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+

24

25

=

49

25

，
sinA+cosA=

7

5

，sinA+cosA=-

7

5

（舍去），
聯立得：

sinA-cosA= 1 5 sinA+cosA= 7 5

，
解得：sinA=

4

5

；
（Ⅱ）設△ABC的角A，B，C所對的三邊長分別為a，b，c，
∵sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

4

5

=

2

5

bc，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc×

3

5

，
∴1≥2bc-

6

5

bc=

4

5

bc，即bc≤

5

4

，
∴S=

2

5

bc≤

2

5

×

5

4

=

1

2

，
則△ABC面積的最大值為

1

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．