Question

10．已知二次函數f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）試討論函數y=f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數$g（x）=f（x）+\frac{{1-（{a-1}）{x^2}}}{x}$在（2，3）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的奇偶性的定義即可討論得到結論，
（2）先化簡g（x），再根據導數和函數單調性的關系，求導分離參數，求出函數的最值，問題得以解決．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+（a-1）x+a，
∴f（-x）=ax²-（a-1）x+a，
若f（-x）=f（x），即ax²-（a-1）x+a=ax²+（a-1）x+a，
解得a=1，此時函數為偶函數，
若f（-x）=-f（x），即ax²-（a-1）x+a=-ax²-（a-1）x-a，
解得a=0，此時函數為奇函數，
當a≠1且a≠0時，函數為非奇非偶函數，
（2）∵$g（x）=f（x）+\frac{{1-（{a-1}）{x^2}}}{x}$=ax²+（a-1）x+a+$\frac{1}{x}$-（a-1）x=ax²+a+$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$＞0，在（2，3）上恒成立，
∴2a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{{x}^{2}}$在（2，3）上為減函數，
∴y＞$\frac{1}{4}$，
∴2a≥$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{8}$，
故a的取值范圍為[$\frac{1}{8}$，+∞）．

點評 本題主要考查了函數的單調性、奇偶性，利用了分類討論的思想以及導數和函數的單調性的關系，屬于中檔題．