Question

已知函數f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函數，且f（1）=2
（1）求f（x）的表達式；
（2）F(x)=

x

f(x)

(x＞0)，記S=F(1)+F(2)+F(3)+…F(2012)+F(

1

2

)+F(

1

3

)+…+F(

1

2012

)，求S的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數，得其定義域為為{x|x≠-

b

a

}，∴-

b

a

=0，又f（1）=2，得

2

a+b

=2，聯立即可求得a，b的值；
（2）先求等式F（a）+F(

1

a

)及F（1）的值，由此規律即可求得S．

解答：解：（1）∵f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函數，∴a≠0，其定義域為{x|x≠-

b

a

}，
∴-

b

a

=0①，又f（1）=2，得

2

a+b

=2②，由①②解得b=0，a=1，
∴f(x)=

x2+1

x

(x≠0)．
（2）F(x)=

x

f(x)

=

x

x2+1 x

=

x2

x2+1

（x＞0），
F(a)+F(

1

a

)=

a2

a2+1

+

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

a2

a2+1

+

1

1+a2

=1，
而F(1)=

1

2

，
所以S=F（1）+F（2）+F（3）+…+F（2012）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+…+F（

1

2012

）=F（1）+2011=

4023

2

．

點評：本題考查函數解析式的求法及奇函數的性質，考查學生分析問題解決問題的能力．