Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a∈R，b∈R則A∩B≠∅的概率為（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  1

  16

• D．

  15

  16

Answer 1

分析：根據題意，a∈[0，2]，b∈[1，3]，確定其表示的平面區域，再令函數f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求導分析單調性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，分析可得可知A∩B=∅的（a，b）對應的關系式，借助線性規劃分析，可得其區域，進而由幾何概型的意義計算可得答案．

解答：解：因為a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）對應的區域邊長為2的，
正方形（如圖），面積為4．
令函數f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因為a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調增函數．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
要使A∩B=∅，只須f（x）min=-a+

b

2

-1≥0⇒2a-b+2≤0，
所以滿足A∩B=∅的（a，b）對應的區域是如圖陰影部分．
所以S_陰影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．
所以A∩B=∅的概率為P=

1 4

4

=

1

16

，
則A∩B≠∅的概率為1-

1

16

=

15

16

．
故選D．

點評：本題重點考查幾何概型的意義與幾何概型的計算，子集與交集、并集運算的轉換，考查計算能力．