Question

某商場銷售某種商品，在市場調研中發現，次商品的日銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克），大致滿足如下關系：y=

a

(x-3)2

+b，其中3＜x≤8，常數a，b為正實數．
（Ⅰ）在近期的銷售統計中，日銷售量y和銷售價格x有如下表所示的關系：

X	…	3.1	4	5	5.5	…
y	…	500	104	101	100.64	…

若銷售價格為3.5，則預計當天的銷售量為多少？
（Ⅱ）在長期的銷售統計中發現a受市場因素有波動，b趨于穩定，若b=100，且該商品的成本為3元/千克，試確定商場日銷售該商品所獲得的最低利潤．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將（4，104），（5，101）代入函數解析式，求出函數解析式，從而可求銷售價格為3.5，當天的銷售量；
（Ⅱ）設出日銷售利潤，分類討論，求函數的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意，

a+b=104 a 4 +b=101

，∴

a=4 b=100

∴y=

4

(x-3)2

+100（3＜x≤8）
當x=3.5時，y=116，
故預計多天的銷售量為116千克；
（Ⅱ）設日銷售利潤為g（x）=

a

x-3

+100(x-3)
∵3＜x≤8，∴0＜x-3≤5，
由

a

x-3

+100(x-3)≥20

a

，當且僅當

a

x-3

=100(x-3)，即x=3+

a

10

時，取“=”
若0＜

a

10

≤5，即0＜a≤2500時，g（x）_min=20

a

；
若

a

10

＞5，即a＞2500時，g′（x）=

100(x-3)2-a

(x-3)2

∵x∈（3，8]，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（3，8]上單調遞減，
∴x=8時，g（x）_min=500+

a

5

．
綜上，0＜a≤2500時，商場日銷售該商品所獲得的最低利潤為20

a

元；a＞2500時，商場日銷售該商品所獲得的最低利潤為500+

a

5

元．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．