Question

設D是函數(shù)y=f（x）定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在x₀∈D，使f（x₀）=-x₀，則稱x₀是f（x）的一個“次不動點”，也稱f（x）在區(qū)間D上存在次不動點．若函數(shù)f（x）=ax²-3x-a+

5

2

在區(qū)間[1，4]上存在次不動點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、[

  1

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)“f（x）在區(qū)間D上有次不動點”當且僅當“F（x）=f（x）+x在區(qū)間D上有零點”，依題意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，討論將a分離出來，利用導數(shù)研究出等式另一側函數(shù)的取值范圍即可求出a的范圍．

解答： 解：依題意，存在x∈[1，4]，
使F（x）=f（x）+x=ax²-2x-a+

5

2

=0，
當x=1時，使F（1）=

1

2

≠0；
當x≠1時，解得a=

4x-5

2(x2-1)

，
∴a′=

-2x2+5x-2

(x2-1)2

=0，
得x=2或x=

1

2

，（

1

2

＜1，舍去），

x	（1，2）	2	（2，4）
a′	+	0	-
a	↗	最大值	↘

∴當x=2時，a最大=

4x-5

2(x2-1)

=

1

2

，
所以常數(shù)a的取值范圍是（-∞，

1

2

]，
故選：D．

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，以及函數(shù)零點和利用導數(shù)研究最值等有關知識，屬于中檔題．