Question

某工廠因排污比較嚴重，決定著手整治，一個月時污染度為60，整治后前四個月的污染度如表：

月數	1	2	3	4	…
污染度	60	31	13	0	…

污染度為0后，該工廠即停止整治，污染度又開始上升，現用下列三個函數模擬從整治后第一個月開始工廠的污染模式：f（x）=20|x-4|（x≥1），g(x)=

20

3

(x-4)2(x≥1)，h(x)=

240

11

|log2x-

1

x

-

7

4

|(x≥1)，其中x表示月數，f（x）、g（x）、h（x）分別表示污染度．
（1）問選用哪個函數模擬比較合理？并說明理由；
（2）若以比較合理的模擬函數預測，整治后有多少個月的污染度不超過60？

Answer 1

分析：（1）通過計算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），
h（4）的值；可知h（x）更接近表中的實際值，用h（x）模擬較為合理．
（2）由復合函數的單調性知，函數h(x)=

240

11

|log2x-

1

x

-

7

4

|(x≥1)在x≥4上是增函數；且h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23個月的污染度不超過60．

解答：解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g（3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；
由此可得h（x）更接近表中的實際值，所以用h（x）模擬比較合理．
（2）因為函數y₁=log₂x在（x≥4）上是增函數，函數y₂=-

1

x

在（x≥4）上是增函數，
所以，函數h(x)=

240

11

|log2x-

1

x

-

7

4

|(x≥1)在x≥4上也是增函數；
又因為h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，
故整治后有23個月的污染度不超過60．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用問題，選擇函數模擬實際問題時，函數值越接近實際值，函數模擬效果越好．