Question

已知函數f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）當時，方程f（x）=b恰有三個根，求實數b的取值范圍；
（2）當時，是否存在區間[m，n]，使得函數的定義域與值域均為[m，n]，若存在請求出所有可能的區間[m，n]，若不存在請說明理由；
（3）若a＞0，函數f（x）在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m，n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用絕對值的幾何意義，分類討論，確定函數的單調性，從而要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（）＞0，g（）＜0，從而可求實數b的取值范圍；
（2）分類討論，確定函數的單調性，求出函數的最值，即可求得結論；
（3）要使函數在（m，n）上既有最大值又有最小值，則最小值在x=a處取得，最大值在處取得．
解答：解：（1）設g（x）=4x²-x-b（x≥）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在[，+∞）上單調增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在（-∞，）上單調增；g（x）在[，）上單調減；
要使方程f（x）=b恰有三個根，只須g（）=-2（）²+-b=-b＞0，∴b＜
g（）=-2（）²+-b=-b＜0，∴b＞
∴；
（2）當m＜n≤時，f（x）在區間[m，n]上單調遞增，所以，所以m=n，矛盾；
當m≤≤n＜時，n=f（）=，矛盾；
當m≤＜≤n時，n≥＞＞f（m），故f（x）在區間[m，n]上的最大值在[，n]上取到
∵f（x）在[，n]上單調遞增，∴n=f（n），∴n=
又，故，所以f（x）在區間[m，n]上的最小值在上取到．
又f（x）在區間上單調遞增，故m=f（m），∴m=0
故
當時，由x∈，知，，矛盾．
當時，f（x）在區間上單調遞減，上單調遞增．故，矛盾
當時，f（x）在區間[m，n]上單調遞增，故，得，矛盾．
綜上所述，即存在區間滿足條件．
（3）當a＞0時，函數的圖象如右，
要使得函數f（x）在開區間（m，n）內既有最大值又有最小值，則最小值一定在x=a處取得，最大值在處取得；
f（a）=a²，在區間（-∞，a）內，函數值為a²時，所以；
，而在區間（a，+∞）內函數值為時，所以．…..（12分）
點評：本題考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．