Question

（2009•南匯區二模）已知函數f(x)=

.

1 sinx 3 cosx 0 sinx sinx 2m 0 0

.

的定義域為[0，

π

2

]，最大值為4．試求函數g（x）=msinx+2cosx（x∈R）的最小正周期和最值．

Answer 1

分析：三階行列式的展開法則：

.

a b c m n p x y z

.

=anz+bpx+cmy-cnx-bmz-apy，由此可將已知函數表達式化簡為：f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx，再用降冪公式化簡合并成-2msin(2x+

π

6

)+m．通過討論函數的最大值點，得出m=2，代入函數g（x），最后將函數g（x）化簡合并成Asin（ωx+φ）+k的形式，即可求出函數g（x）的最小正周期和最值．

解答：解：f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx
=-2msin(2x+

π

6

)+m
由x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]…4’
當m＞0時，f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m=4，
解得m=2，…6’
從而，g(x)=2sinx+2cosx=2

2

sin(x+

π

4

)（x∈R），
T=2π，最大值為2

2

，最小值為-2

2

；…8’
當m＜0時，f（x）_max=-2m•1+m=4，
解得m=-4，…10’
從而，g(x)=-4sinx+2cosx=2

5

sin(x-arctan

1

2

)，
函數的最小正周期為：T=2π，
最大值為2

5

，最小值為-2

5

．…12’

點評：本題考查了三階行列式的展開和三角函數的值域與最值等知識點，屬于中檔題．處理三角函數表達式是本題的主要工作，做題時要注意角的取值范圍，以保證運算準確無誤．