Question

已知圓和點.

(1)求以點為圓心，且被軸截得的弦長為的圓⊙的方程；

(2)過點向圓O引切線，求直線的方程；

(3)設為⊙上任一點，過點向圓O引切線，切點為Q. 試探究:平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

解：（Ⅰ）設圓的半徑為，則 ……………………………………3分

∴⊙的方程為  ……………………………………………………5分

（Ⅱ）設切線方程為 ，易得，解得……………8分

  ∴切線方程為 ………………………………………………………10分

（Ⅲ）假設存在這樣的點，點的坐標為，相應的定值為，

根據題意可得，∴…………………………12分

即   （*），

又點在圓上∴，即，代入（*）式得：

  ………………………………14分

若系數對應相等，則等式恒成立，∴，

解得，

∴可以找到這樣的定點，使得為定值. 如點的坐標為時，比值為；

點的坐標為時，比值為…………………………………………………………16分