Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一點M，使得A₁M⊥平面ADE．

Answer 1

證明：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
不妨設正方體的棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
設平面AED的法向量為
=（x₁，y₁，z₁），
則=（x₁，y₁，z₁）•（2，0，0）=0，
=（x₁，y₁，z₁）•（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0．
令y₁=1，得=（0，1，-2），
同理可得平面A₁FD₁的法向量=（0，2，1）．
∵=0，∴，
∴平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于點M在直線AE上，
設=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）．
可得M（2，2λ，λ），∴=（0，2λ，λ-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴=（0，2λ，λ-2）•（0，2，1）=5λ-2=0，
解得λ=．故當A=A時，A₁M⊥平面ADE
分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，不妨設正方體的棱長為2，設平面AED的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
利用=0，=0，得=（0，1，-2），同理可得平面A₁FD₁的法向量=（0，2，1）．
通過=0，證明平面AED⊥平面A₁FD₁．
（2）由于點M在直線AE上，設=（0，2λ，λ）．=（0，2λ，λ-2），利用AD⊥A₁M，=0，推出5λ-2=0，
解得λ=．故當A=A時，A₁M⊥平面ADE點M在直線AE上，
點評：本題是中檔題，考查平面與平面的垂直，注意向量的數量積的應用，直線與平面的垂直，考查計算能力，常考題型．