Question

(2007山東，19)如下圖，在直四棱柱中，已知，AD⊥DC，AB∥DC．

(1)設E是DC的中點，求證：∥平面；

(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)連接BE，則四邊形DABE為正方形， ∴，且， ∴四邊形為平行四邊形． ∴． 又平面，平面， ∴． (2)以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設DA=1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，(0，2，2)，(1，0，2)， ∴=(1，0，2)，=(1，1，0)． 設n=(x，y，z)為平面的一個法向量， 由，， 得 取z=1，則n=(－2，2，1)． 又=(0，2，2)，=(1，1，0)， 設為平面的一個法向量，由，， 得 取，則m=(1，－1，1)． 設m與n的夾角為α，二面角為θ，顯然θ為銳角， ∴．∴． 即所求二面角的余弦值為． 解法二：(1)以D為原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 設DA=a，由題意知： D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，2a，0)，(0，2a，2a)，(a，0，2a)，(0，0，2a)，E(0，a，0)， ∴=(0，a，－2a)，=(a，0，2a)，=(a，a，0)． 又(0，a，－2a)=(a，a，0)－(a，0，2a)， ∴． ∵，DB平面，平面， ∴． (2)取DB的中點F，的中點M，連接，FM，由(1)及題意得知，M(0，a，a)， ∴， ． ， ． ∴，FM⊥DB． ∴為所求二面角的平面角． ∴ ． 所以二面角的余弦值為． 解法三：(1)證明：如解法一圖，連接，AE， 設，AE∩BD=F，連接GF， 由題意知G是的中點，又E是CD的中點， ∴四邊形ABED是平行四邊形，故F是AE的中點， ∴在中，， 又GF平面，平面， ∴∥平面． (2)如圖，在四邊形ABCD中，設AD=a， ∵AB=AD，AD⊥DC，AB∥DC， ∴AD⊥AB． 故，由(1)得，DC=2a， ∴∠DBC=90°， 即BD⊥BC．又， ∴BD⊥平面，又平面，∴． 取的中點M，連接，FM，由題意知， ∴FM⊥BD．又，∴． ∴為二面角的平面角， 連接，在中，由題意知： ，， 取的中點H，連接，HM， 在Rt中，∵，HM=a， ∴． ∴． ∴二面角的余弦值為．