Question

設(shè)數(shù)列{a_n}、{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），滿足a_n=

lgb1+lgb2+…+lgbn

n

（n∈N^*），證明：{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是{b_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

證明：充分性：若{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則a_n=

nlgb1+lg(q•q2qn-1)

n

=

nlgb1+lgq n(n-1) 2

n

=lgb₁+（n-1）lgq^

1

2

，a_n+1-a_n=lgq^

1

2

為常數(shù)，
∴{a_n}為等差數(shù)列．
必要性：由a_n=

lgb1+lgb2++lgbn

n

得na_n=lgb₁+lgb₂++lgb_n，（n+1）a_n+1=lgb₁+lgb₂++lgb_n+1，
∴n（a_n+1-a_n）+a_n+1=lgb_n+1．
若{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則nd+a₁+nd=lgb_n+1，
∴b_n+1=10^a1+2nd，b_n=10^a1+2(n-1)d．
∴

bn+1

bn

=10^2d為常數(shù)．
∴{b_n}為等比數(shù)列．