Question

【題目】如圖，某生態園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．

（1）若圍墻AP，AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？
（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，AP段圍墻造價為每平方米150元，AQ段圍墻造價為每平方米100元．若圍圍墻用了30000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AP+AQ=200，

∴S= ≤ =2500 ．

當且僅當x=y=100時取“=”．

∴當x=y=100時，可使得三角形地塊APQ的面積最大．

（2）解：設AP=x，AQ=y，則1x150+1.5y100=30000，

化為：x+y=200≥2 ，可得xy≤10000．

∴PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy=40000﹣xy≥30000．

當且僅當x=y=100時取“=”．

即PQ≥100 ．

∴當且僅當x=y=100時，可使PQ取得最小值，即使用竹籬笆用料最省．

【解析】（1）先求出三角形地塊APQ的面積，再利用基本不等式可得三角形地塊APQ的面積最大；（2）先利用余弦定理可得PQ2，再利用基本不等式可得PQ的最小值．
【考點精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．