Question

已知橢圓方程為，試確定m的范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線y=4x+m對稱．

Answer 1

【答案】分析：根據對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M在直線y=4x+m，可設直線AB 的方程為y=，聯立方程整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0可求中點M，由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可求b的范圍，由中點M在直線y=4x+m可得m，b 的關系，從而可求m的范圍
解答：解：設橢圓上關于直線y=4x+m對稱的點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-，直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M（x，y）在直線y=4x+m，
故可設直線AB 的方程為y=，
整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0，
所以，，
由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可得，
所以代入直線y=4x+m可得m=
所以，．
點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關系的應用，解題的關鍵是靈活應用已知中的對稱性設出直線方程，且由中點在y=4x+m上建立m，b之間的關系，還要注意方程的根與系數的關系的應用．