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在(x2+x+1)n=
D
0
n
x2n+
D
1
n
x2n-1+
D
2
n
x2n-2+…+
D
2n-1
n
x+
D
2n
n
的展開式中，把
D
0
n
，
D
1
n
，
D
2
n
，…，
D
2n
n
叫做三項式的n次系數列．
（1）寫出三項式的2次系數列和3次系數列；
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），用三項式的n次系數表示
D
0
n+1
，
D
1
n+1
，
D
k+1
n+1
（1≤k≤2n-1）；
（3）用二項式系數表示
D
3
n
．
分析：（1）由（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，求得2次系數列．同理根據（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，求得3次系數列．
（2）如圖所示：根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，可得結論．
（3）根據三項式的2次系數列和3次系數列的定義，再利用組合數公式的性質，可用二項式系數表示
D
3
n
．
解答：解：（1）在( x2+x+1 )n=
D
0
n
x2 n+
D
1
n
x2 n-1+
D
2
n
x2 n-2+…+
D
2 n-1
n
x+
D
2 n
n
的展開式中，
∵（x2+x+1）2=x4+x2+1+2x3+2x2+2x=x4+2x3+3x2+2x+1，
∴
D
0
2
=1 ， 
D
1
2
=2 ， 
D
2
2
=3 ， 
D
3
2
=2 ， 
D
4
2
=1．
∵（x2+x+1）3=（x4+2x3+3x2+2x+1）（x2+x+1）=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1，
∴
D
0
3
=1 ， 
D
1
3
=3 ， 
D
2
3
=6 ， 
D
3
3
=7 ， 
D
4
3
=6 ， 
D
5
3
=3 ， 
D
6
3
=1．
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N）：
    1    
   111   
  12321  
 1367631 
14101619161041
D
0
n+1
=
D
0
n
=0 ， 
D
1
n+1
=
D
1
n
+
D
0
n
=n+1 ， 
D
k+1
n+1
=
D
k-1
n
+
D
k
n
+
D
k+1
n
 ( 1≤k≤2 n-1 )．
（3）用二項式系數表示
D
3
n
：
D
2
1
=1 ， 
D
2
2
=
D
0
1
+
D
1
1
+
D
2
1
=3=
C
2
3
 ， 
D
2
3
=
D
0
2
+
D
1
2
+
D
2
2
=6=
C
2
4

D
2
4
=
D
0
3
+
D
1
3
+
D
2
3
=10=
C
2
5
 ， …
可得
D
2
n-1
=
D
0
n-2
+
D
1
n-2
+
D
2
n-2
=1+n-2+
C
2
n-1
=
C
2
n
．
∵
D
3
n
=
D
1
n-1
+
D
2
n-1
+
D
3
n-1
，
∴
D
3
n
-
D
3
n-1
=
D
1
n-1
+
D
2
n-1
=
C
1
n
+
C
2
n
-1=
C
2
n+1
-1．
∵
D
3
3
-
D
3
2
=
C
2
4
-1，
D
3
4
-
D
3
3
=
C
2
5
-1，
D
3
5
-
D
3
4
=
C
2
6
-1，… ， 
D
3
n
-
D
3
n-1
=
C
2
n+1
-1，
∴
D
3
n
-
D
3
2
=
C
2
4
+
C
2
5
+
C
2
6
+…+
C
2
n+1
-( n-2 )
=( 
C
3
5
-
C
3
4
 )+( 
C
3
6
-
C
3
5
 )+( 
C
3
7
-
C
3
6
 )+…+( 
C
3
n+2
-
C
3
n+1
 )-( n-2 )=
C
3
n+2
-
C
3
4
-( n-2 )
=
C
3
n+2
-( n+2 )．
∴
D
3
n
=
C
3
n+2
-
C
1
n
．
點評：本題主要考查二項式定理的應用，組合數的計算公式的應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列選項中正確的是（　　）
A、命題p：?x0∈R，tanx0=1；命題q：?x∈R，x2-x+1＞0，則命題“p∧?q”是真命題B、集合M={x|x2＜4}，N={x|x2-2x-3＜0}，則M∩N={x|-2＜x＜3}C、命題“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2-3x+2≠0”D、函數f（x）=x2+2（m-2）x+4在[1，+∞）上為增函數，則m的取值范圍是m＜1

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于定義在D上的函數y=f（x），若同時滿足．
①存在閉區間[a，b]⊆D，使得任取x1∈[a，b]，都有f（x1）=c （c是常數）；
②對于D內任意x2，當x2∉[a，b]時總有f（x2）＞c稱f（x）為“平底型”函數．
（1）（理）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（文）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|，f2（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函數？簡要說明理由；
（2）（理）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（文）設f（x）是（1）中的“平底型”函數，若|t-1|+|t+1|≥f（x），對一切t∈R恒成立，求實數x的范圍；
（3）（理）若F（x）=mx+
x2+2x+n
，x∈[-2，+∞）是“平底型”函數，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函數，求m和n滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c滿足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，證明f（x）的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點間的距離d滿足：
3
2
＜d＜3；
（Ⅱ）設f（x）在x=
t+1
2
（t＞0，t≠1）處取得最小值，且對任意實數x，等式f（x）g（x）+anx+bn=xn+1（其中n∈N，g（x）=x2+x+1）都成立，若數列{cn}的前n項和為bn，求{cn}的通項公式．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在(x2+x+1)n=
D0n
x2n+
D1n
x2n-1+
D2n
x2n-2+…+
D2n-1n
x+
D2nn
的展開式中，把
D0n
，
D1n
，
D2n
，…，
D2nn
叫做三項式的n次系數列．
（1）寫出三項式的2次系數列和3次系數列；
（2）列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N），用三項式的n次系數表示
D0n+1
，
D1n+1
，
Dk+1n+1
（1≤k≤2n-1）；
（3）用二項式系數表示
D3n
．

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同步練習冊答案
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