Question

已知橢圓（a＞b＞0）的長軸長為，點P（2，1）在橢圓上，平行于OP（O為坐標原點）的直線l交橢圓于A，B兩點，l在y軸上的截距為m．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）設直線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，那么k₁+k₂是否為定值，若是求出該定值，若不是請說明理由．

Answer 1

解：（I）由已知可知…（1分）
設橢圓方程為，將點P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴橢圓方程為 …（4分）
（II）∵直線l平行于OP，且在y軸上的截距為m，又
∴l的方程為：y=（m≠0）…（6分）
代入橢圓方程，消元可得x²+2mx+2m²-4=0 ①…（7分）
∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0．
所以m的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．…（9分）
（III）k₁+k₂=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①得．…（10分）
∵
∴
==
∴k₁+k₂=0…（14分）
分析：（I）設橢圓方程為，將點P（2，1）代入，即可求得橢圓方程；
（II）l的方程代入橢圓方程，可得一元二次方程，利用直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，即可確定m的取值范圍；
（III）利用韋達定理，及，可得k₁+k₂=0．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．