Question

（2013•石景山區一模）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（I）求證：BD⊥PC；
（II）設AC與BD相交于點O，在棱PC上是否存在點E，使得OE∥平面PAB？若存在，確定點E位置．

Answer 1

分析：（I）利用勾股定理可得DB，利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，即BD⊥DC，再利用線面垂直的性質定理可得PD⊥BD，利用線面垂直的判定定理即可證明結論；
（II）存在點E，使得OE∥平面PAB，此時PE=

1

5

PC．在PC上取點E使得PE=

1

5

PC，連接OE．利用平行線分線段成比例定理可得

AD

BC

=

AO

OC

=

1

4

，
而

PE

EC

=

AO

OC

=

1

4

，即可得到OE∥PA．利用線面平行的判定定理即可證明．

解答：證明：（Ⅰ）在Rt△ABD中，∵AD=1，AB=

3

BD2=AB2+AD2=(

3

)2+12=4，∴BD=2．
∴∠ABD=30°，
∴∠DBC=60°．
在△BCD中，由余弦定理得DC²=2²+4²-2×2×4cos60°=12，
∴DB²+DC²=BC²，
∴∠BDC=90°．∴BD⊥DC．
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
又PD∩DC=D，∴BD⊥平面PDC．
∴BD⊥PC．
（II）存在點E，使得OE∥平面PAB，此時PE=

1

5

PC．證明如下：
在PC上取點E使得PE=

1

5

PC，連接OE．
由AD∥BC，

AD

BC

=

AO

OC

=

1

4

，
∴

PE

EC

=

AO

OC

=

1

4

，可得OE∥PA．
又∵PA?平面PAB，OE?平面PAB，
∴OE∥平面PAB．

點評：本題綜合考查了余弦定理和勾股定理的逆定理、線面垂直的判定與性質定理、平行線分線段成比例定理等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力和推理能力及計算能力．