Question

定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且函數y=f（x-3）的圖象關于點（3，0）成中心對稱圖形，若實數s，t滿足不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），當1≤s≤4時，t²+s²-2s 的取值范圍是

[-

1

2

，24]

．

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的函數y=f（x）是增函數，且函數y=f（x-3）的圖象關于（3，0）成中心對稱，易得函數y=f（x）是奇函數，根據函數單調性和奇偶性的性質可得s²-2s≥t²-2t，進而得到s與t的關系式，最后找到目標函數z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，利用線性規劃問題進行解決；

解答：解：y=f（x-3）的圖象相當于y=f（x）函數圖象向右移了3個單位．
又由于y=f（x-3）圖象關于（3，0）點對稱，
向左移回3個單位即表示y=f（x）函數圖象關于（0，0）點對稱，函數是奇函數．
所以f（2t-t²）=-f（t²-2t）
即f（s²-2s）≥f（t²-2t）
因為y=f（x）函數是增函數，所以s²-2s≥t²-2t
移項得：s²-2s-t²+2t≥0
即：（s-t）（s+t-2）≥0
得：s≥t且s+t≥2或s≤t且s+t≤2
轉化為線性規劃問題：
已知s≥t且s+t≥2，且1≤s≤4，目標函數：z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
畫出可行域：

z=t²+s²-2s 的最值，轉化為可行域中的點到點（0，1）距離的平方減去1，
z=t²+s²-2s=t²+（s-1）²-1，
∴z的最小值為點（0，1）到直線s+t=2距離的平方減去1，
∴z_min=(

|-1|

2

)2-1=-

1

2

，
z的最大值為點（0，1）到點（4，4）距離的平方減去1，
z_max=（-4）²+（-3）²-1=24，
∴-

1

2

≤z≤24；
當s≤t且s+t≤2，且1≤s≤4，可行域不存在，舍去；
∴t²+s²-2s 的取值范圍是[-

1

2

，24]
故答案為[-

1

2

，24]．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的性質，其中根據已知條件得到函數為奇函數，進而將不等式f（s²-2s）≥-f（2t-t²），轉化為s²-2s≥t²-2t，最后轉化到線性規劃問題上解決，就比較簡單了；