Question

已知函數f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)，且f(0)=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

．
（1）求a，b的值；    
（2）寫出函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數誘導公式和二倍角三角公式，化簡得f（x）=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x，再結合題中f（0）=2且f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

，建立關于a、b的方程組并解之，即得實數a，b的值； 
（2）利用輔助角公式化簡整理，得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，根據正弦函數單調區間的公式，求出f（x）在R上的單調減區間，再與區間[-π，π]求交集，即可得到函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間．

解答：解：（1）∵sin（

3π

2

+x）=-cosx，sin（π+x）=-sinx，sin（x-

3π

2

）=cosx
∴f(x)=2asin2(

3π

2

+x)+bsin(π+x)sin(x-

3π

2

)
=2acos²x-bsinxcosx=a（1+cos2x）-

1

2

bsin2x
∵f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

∴2a=2且a（1+cos

2π

3

）-

1

2

bsin

2π

3

=

1

2

+

3

2

解之得a=1，b=-2
（2）由（1）得：f（x）=1+cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
得函數的減區間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，將其與區間[-π，π]求交集，得
函數f（x）在[-π，π]上的單調遞減區間為[-

7π

8

，-

3π

8

]和[

π

8

，

5π

8

]．

點評：本題給出三角函數的表達式，在已知函數對應值的情況下求參數a、b的值，并求函數在[-π，π]上的單調遞減區間，著重考查了二倍角的三角函數公式和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．