Question

已知函數f（x）=x³+x²+（a²-3a）x-2a
（1）如果對任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設實數f（x）的兩個極值點分別為x₁x₂判斷①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否為定值？若是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a）并求出g（a）的最小值；
（3）對于（2）中的g（a），設H（x）=[g（x）-27]，m，n∈（0，1）且m≠n，試比較|H（m）-H（n）|與|e^m-eⁿ|（e為自然對數的底）的大小，并證明．

Answer 1

解：（1）∵函數f（x）=x³+x²+（a²-3a）x-2a
∴函數f′（x）=x²+（a-3）x+（a²-3a）
則f′（x）-a²=x²+（a-3）x-3a=（x+a）（x-3）
若對任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
則對任意x∈（1，2]，f′（x）-a²＞0恒成立
則a＜-2．
（2）令f′（x）=0
則x=3或x=-a
則①x₁+x₂+a=3為定值；
②x₁²+x₂²+a²=2a²+9不為定值；
此時g（a）=2a²+9，當a=0時有最小值9；
③x₁³+x₂³+a³=27為定值；
（3）∵g（a）=2a²+9，
∴H（x）=[g（x）-27]=（2x²-18），
令F（x）=H（x）-e^x=（2x²-18）-e^x，
則F′（x）=x-e^x，
當x∈（0，1）時，F′（x）＜0恒成立
即F（x）在區間（0，1）上為減函數
當m，n∈（0，1）且m≠n時，不妨令m＞n
則F（m）-F（n）=[H（m）-e^m]-[H（n）-eⁿ]＜0
即[H（m）-e^m]＜[H（n）-eⁿ]
即H（m）-H（m）＜e^m-eⁿ，
即|H（m）-H（n）|＜|e^m-eⁿ|
分析：（1）由已知中函數f（x）=x³+x²+（a²-3a）x-2a，可求出f'（x）的解析式，根據二次函數的圖象和性質可得對任意x∈（1，2]，f'（x）＞a²恒成立時，實數a的取值范圍；
（2）由（1）中f'（x）的解析式，可求出x₁x₂，進而判斷出①x₁+x₂+a②x₁²+x₂²+a²③x₁³+x₂³+a³是否為定值及函數g（a）的解析式，及g（a）的最小值；
（3）根據（2）中g（a）的解析式，我們可以求出H（x）=[g（x）-27]的解析式，構造函數F（x）=H（x）-e^x，利用導數法，可判斷出F（x）在區間（0，1）上的單調性，進而判斷出當m，n∈（0，1）且m≠n時，|H（m）-H（n）|與|e^m-eⁿ|的大小．
點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，函數恒成立問題，導數的運算，其中（1）的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，（2）的關鍵是求出f（x）的兩個極值點分別為x₁x₂，（3）的關鍵是構造函數F（x）=H（x）-e^x，并利用導數法判斷出F（x）在區間（0，1）上的單調性．