Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，數列{b_n}是公差為d的等差數列，n∈N^*．
（1）求d的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）求證：(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜

22n+1

(n+1)(n+2)

．

Answer 1

分析：（1）根據a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，求出數列{b_n}的前兩項，即可求得數列的公差；
（2）先求數列{b_n}的通項公式，進而再利用條件，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（3）先利用基本不等式，得出0＜anSn≤4•

n

n+2

，進而相乘，即可證明．

解答：解：（1）∵a₁=a₂=1，b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴b₁=S₁+3a₁，b₂=2S₂+4a₂，
∴d=b₂-b₁=4
（2）∵數列{b_n}是公差為4的等差數列，b₁=4
∴b_n=4n
∵b_n=nS_n+（n+2）a_n，
∴4n=nS_n+（n+2）a_n，
∴Sn+

n+2

n

an=4①
當n≥2時，Sn-1+

n+1

n-1

an-1=4②
①-②：Sn-Sn-1+

n+2

n

an-

n+1

n-1

an-1=0
∴an+

n+2

n

an-

n+1

n-1

an-1=0
∴

an

an-1

=

1

2

•

n

n-1

∴

an

a1

=

an

an-1

× 

an-1

an-2

×…

a2

a1

=

1

2n-1

•n
∵a₁=1，∴an=

n

2n-1

（3）∵Sn+

n+2

n

an=4，an＞0，Sn＞0
∴

Sn× n+2 n an

≤

Sn+ n+2 n an

2

=2
∴0＜anSn≤4•

n

n+2

∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)≤

22n+1

(n+1)(n+2)

③
∵n=1，Sn≠

n+2

n

an
∴等號不成立
∴(a1a2…an)•(S1S2…Sn)＜

22n+1

(n+1)(n+2)

點評：本題重點考查數列的通項，考查不等式的證明，解題的關鍵是挖掘數列的通項與前n項和的關系．