Question

已知sinα，cosα是關于x的方程x2-

5

ax+2a=0的兩根，求sin⁶α+cos⁶α的值．

Answer 1

分析：由sinα，cosα為已知方程的兩根，得到根的判別式大于等于0，求出a的范圍，利用韋達定理表示出sinα+cosα與sinαcosα，利用同角三角函數間的基本關系列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，將所求式子利用立方和公式分解因式后，利用同角三角函數間的基本關系及完全平方公式變形后，把求出a的值代入計算，即可求出值．

解答：解：∵sinα，cosα是關于x的方程x²-

5

ax+2a=0的兩根，
∴sinα+cosα=

5

a，sinαcosα=2a，△=b²-4ac=5a²-8a≥0，即a≤0或a≥

8

5

，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+4a=5a²，即（5a+1）（a-1）=0，
解得：a=-

1

5

或a=1（不合題意，舍去），
則sin⁶α+cos⁶α=（sin²α+cos²α）（sin⁴α-sin²αcos²α+cos⁴α）
=sin⁴α-sin²αcos²α+cos⁴α=（sin²α+cos²α）²-3sin²αcos²α=1-3sin²αcos²α=1-12a²=

13

25

．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，完全平方公式，立方和公式的運用，以及韋達定理，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．