Question

我們知道：兩個互為反函數的函數y=2^x與y=log₂x的圖象關于直線y=x成軸對稱，利這一性質，若x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，則x₁+x₂的值為直線y=x與直線y=-x-a的交點的橫坐標的2倍，即x₁+x₂=-a； 由函數y=x³與函數互為反函數，我們可以得出：若方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，則x₁+x₂=________．

Answer 1

3
分析：由已知中，若x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，則x₁+x₂的值為直線y=x與直線y=-x-a的交點的橫坐標的2倍，即x₁+x₂=-a；我們經過類比推理可得函數y=x³與函數互為反函數，方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，得到方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，進而得到答案．
解答：∵x₁和x₂分別是2^x+x+a=0和log₂x+x+a=0的兩根，
則x₁+x₂的值為直線y=x與直線y=-x-a的交點的橫坐標的2倍，即x₁+x₂=-a；
由此類比推理
∵方程x³+x-3=0的根為x₁，方程（x-3）³+x=0的根為x₂，
∴x₂為的根，
則x₁+x₂的值為直線y=x與直線y=-x+3的交點的橫坐標的2倍
由于直線y=x與直線y=-x+3的交點的橫坐標為
故x₁+x₂=3
故答案為：3
點評：本題考查的知識點是類比推理，要先找出兩類事物之間的相似性或一致性（如本題中已知和未知兩個函數均互為反函數），再用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）