Question

已知橢圓的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，有一個頂點為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線與橢圓交于兩點，線段的中點為,求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）首先根據橢圓有一個頂點為，可知長軸，又，從而得：，可求出，即可求出橢圓方程.
（2）分直線的斜率存在與不存在分類討論，（1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；（2）當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯立，消去，并整理得，利用和點差法即可求出結果.
解：（1）因為橢圓有一個頂點為，故長軸，又，從而得：，，∴橢圓的方程；(3分)
（2）依題意，直線過點且斜率不為零.
（1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；   (4分)
（2）當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為,  (5分)
由方程組
 消去，并整理得，  
設,, 又有，則
∴   (7分)
∴ ，  ∴，
，       (9分)
 ，       .
且 ．          (11分)
綜合(1)、(2)可知直線的斜率的取值范圍是：．   (12分)