Question

已知f（x）=ln（x+1），g(x)=

1

2

ax2+bx，
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x-1）-g（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=0，b=1時，求證：f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）恒成立；
（III）證明：若0＜x＜y，則xlnx+ylny＞(x+y)ln

x+y

2

．

Answer 1

分析：（I）求出h（x）的導函數，由于h（x）存在單調遞減區間等價于h′（x）＜0有解，通過對二次項系數的討論，求出a的范圍．
（II）構造函數φ（x），求出φ（x）的導數，列出x，φ′（x），φ（x）的變化情況表，求出φ（x）的最大值，證出不等式．
（III）作差，利用對數的運算性質化簡差，利用（II）的結論，證出要證的不等式．

解答：解：（Ⅰ）b=2時h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，h′(x)=

1

x

-ax-2，
∵h（x）有單調遞減區間，∴h′（x）＜0有解，即

1-ax2-2x

x

＜0有解，
∵x＞0，∴ax²+2x-1＞0有解，．（2分）
①a≥0時合題意
②a＜0時，△=4+4a＞0，即a＞-1，
∴a的取值范圍是（-1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）設?（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x
?′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．

x	（-1，0）	0	（0，+∞）
?′（x）	+	0	-
?（x）	↗	最大值	↘

∵當x=0時，?（x）有最大值0∴?（x）≤0恒成立．
即f（x）-g（x）≤0對于x∈（-1，+∞）恒成立．（8分）
（III）xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

=x(lnx-ln

x+y

2

)+y(lny-ln

x+y

2

)
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

=-xln

x+y

2x

-yln

x+y

2y

=-xln(1+

y-x

2x

)-yln(1+

x-y

2y

)．（10分）
當0＜x＜y時，

y-x

2x

＞-1，

x-y

2y

＞-1，
由（2）知xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

≥-x•

y-x

2x

-y•

x-y

2y

=0．（12分）
等號在

y-x

2x

=

x-y

2y

=0，即x=y時成立．
而y＞x＞0，所以xlnx+ylny-(x+y)ln

x+y

2

＞0成立．（14分）

點評：解決不等式恒成立問題與不等式有解問題常轉化為求函數的相應的最值問題；證明不等式成立也常常通過構造函數，轉化為求函數的最值．