Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于A，B兩點，當△FAB的周長最大時，△FAB的面積為ab．若b=1，則橢圓的準線方程是

 

．

Answer 1

分析：畫出圖象，結合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達式，求出何時周長最大，可得△FAB的面積為

1

2

×2c×

2b2

a

=ab，結合b=1，求出a，c，即可求出橢圓的準線方程．

解答：解：設橢圓的右焦點E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周長的最大值是4a；
此時，△FAB的面積為

1

2

×2c×

2b2

a

=ab，
∴a²=2bc，
∵b=1，
∴a²=2c，
∴1+c²=2c，
∴c=1，
∴a=

2

，
∴橢圓的準線方程是x=±

a2

c

=±

2

．
故答案為：x=±

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓的定義．解決本題的關鍵在于利用定義求出周長的表達式．