Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）時，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）≥2x+1可化為|x-2|≥1．直接求出不等式f（x）≥2x+1的解集即可．
（Ⅱ）求出函數f（x）的解析式，利用a＞0，x∈[a，+∞）以及x∈（-2，a），求出函數的最小值，f（x）＞0即可求解a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）≥2x+1可化為|x-2|≥1．
由此可得  x≥3或x≤1．
故不等式f（x）≥2x+1的解集為{x|x≥3或x≤1}．
（2）函數f（x）=

3x-a    x≥a x+a     x＜a

，
因為0＜a，所以x∈[a，+∞）上，f（x）≥f（a）=2a＞0，x∈（-2，a）上f（x）＞f（-2）=-2+a
若x∈（-2，+∞）時，恒有f（x）＞0，
∴a≥2，
實數a的取值范圍為：[2，+∞）．

點評：此題考查了其他不等式的解法，分類討論的數學思想，是一道綜合題．