Question

若數列{a_n}滿足

1

an+1

-

1

an

=d（n∈N^*，為常數），則稱數列{a_n}為“調和數列”已知數列{a

1

xn

}為“調和數列”，且x₁+x₂+…+x₂₀=₂₀₀，則x₃x₁₈的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先根據數列{

1

xn

}為“調和數列”可確定數列{x_n}為等差數列，再由前20項的和得到x₃+x₁₈的值，最后根據基本不等式可求出x₃x₁₈的最大值．

解答：解：因為數列{

1

xn

}為“調和數列”，所以x_n+1-x_n=d（n∈N^*，d為常數），即數列{x_n}為等差數列，
由x₁+x₂+…+x₂₀=200得

20(x1+x20)

2

=

20(x3+x18)

2

=200，即x₃+x₁₈=20，
易知x₃、x₁₈都為正數時，x₃x₁₈取得最大值，
所以x₃x₁₈≤（

x3+x18

2

）²=100，即x₃x₁₈的最大值為100．
故答案為：100

點評：本題主要考查等差數列的前n項和，考查基本不等式的應用．